Сравнение чисел. Исчерпывающий гид (2020). Сравнение рациональных чисел Что значит сравнить два числа

Сравнение чисел может производиться различными способами:

1) с опорой на порядок называния чисел при счете: число на­званное раньше будет меньшим (это следует из свойства упоря­доченности множества натуральных чисел);

2) с опорой на процесс присчитывания: три и один будет четы­ре, значит три меньше, чем четыре;

3) с опорой на количественные модели сравниваемых чисел:

Для фиксации процесса сравнения вводится знак сравнения.

Следует помнить, что знак сравнения - один, но читается он по-разному в зависимости от желания читающего. В соответствии с тра­дицией чтения текстов в европейских письменностях слева направо первое прочтение знака сравнения обычно проводится слева напра­во: 3 < 4 (три меньше четырех), но эту же запись при желании можно прочитать и справа налево (четыре больше трех), причем для этого не надо переставлять элементы записи таким образом: 4 > 3. Не сто­ит внушать ребенку неверное представление о том, что есть два знака

сравнения, один из которых называется «меньше», а другой - «боль­ше», поскольку это формирует негибкий, конвергентный шаблон вос­приятия, который потом будет мешать ребенку в старшей школе при работе с неравенствами. Полезно предлагать ребенку каждую запись такого вида читать двумя способами, приведенными выше.

7. Число 10

Десять единиц - это десяток.

Десяток является второй счетной единицей в десятичной сис­теме счисления (десятичная система счисления имеет основанием число десять). Десять десятков образуют следующую счетную еди­ницу - сотню.

Число 10 является числом, завершающим первый десяток.

Число 10 является-первым двузначным числом в ряду натураль­ных чисел.

Число 10 является первым целым десятком, с которым знако­мится ребенок.

В дальнейшем на основе понятия десяток ребенок знакомится с разрядным и десятичным составом двузначных и многозначных чисел. Чтобы не вдаваться в терминологические сложности и не перегружать материал ранним введением понятия «разряд», удоб­но целиком провести знакомство с десятком и его записью с помо­щью цифр на предметной модели.

Знакомя ребенка с числом 10 (первым двузначным числом и первым целым десятком), очень важно рассмотреть его с раз­личных позиций: и как новое число в ряду (следующее за девятью и потому подчиняющееся общему принципу построения множе­ства натуральных чисел), и как первое число, в записи которого использовано два символа; и как новую счетную единицу (деся­ток), для чего используют связку десяти палочек в качестве еди­ницы счета: один десяток; два десятка, три десятка...

Не следует торопиться вводить стандартные названия этих де­сятков (двадцать, тридцать и т. п.), полезнее один-два урока ис­пользовать связки по 10 палочек для счета с целью формирования представления о десятке, как счетной единице.

Нуль в такой аналогии символизирует «связку», охватывающее колечко. Для усвоения этой аналогии полезно сразу же предлагать детям и задания обратного вида: покажите на палочках число 30 (три связки), число 40 (четыре связки) и т. п.

Счет десятками (10,20,30,40,50,60,70,80,90) - процесс «тех­нически» аналогичный счету единицами в пределах 10. Полезно научить ребенка присчитывать и отсчитывать десятки так же, как он делал это с единицами. В дальнейшем это умение поможет ре­бенку легче освоить вычислительные приемы сложения и вычита­ния в пределах 100.

При знакомстве ребенка с нумерацией однозначных чисел ре­комендуем педагогу использовать следующие виды заданий:

1) на способ образования каждого следующего числа путем присчитывания единицы к предыдущему:

Как из числа 3 получить 4? (Добавить к трем один.)

2) на определение места числа в ряду:

За каким числом стоит число 5? (За числом 4.) Где место числа 8? (Между числами 7и 9.)

3) на сравнение как двух соседних, так и несоседних чисел:

Сравните числа: 5...4 7.„2

4) на состав числа:

5) на запоминание обратной последовательности числительных в ряду:

Модуль числа

Модуль числа а обозначают $|a|$. Вертикальные черточки справа и слева от числа образуют знак модуля.

Например, модуль любого числа (натурального, целого, рационального или иррационального) записывается так: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|\sqrt{45}|$.

Определение 1

Модуль числа a равен самому числу $a$, если $a$ является положительным, числу $−a$, если $a$ является отрицательным, или $0$, если $a=0$.

Данное определение модуля числа можно записать следующим образом:

$|a|= \begin{cases} a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Можно использовать более краткую запись:

$|a|=\begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a

Пример 1

Вычислить модуль чисел $23$ и $-3,45$.

Решение .

Найдем модуль числа $23$.

Число $23$ – положительное, следовательно, по определению модуль положительного числа равен этому числу:

Найдем модуль числа $–3,45$.

Число $–3,45$ – отрицательное число, следовательно согласно определению модуль отрицательного числа равен числу, противоположному данному:

Ответ : $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.

Определение 2

Модуль числа является абсолютной величиной числа.

Таким образом, модуль числа – число под знаком модуля без учета его знака.

Модуль числа как расстояние

Геометрическое значение модуля числа: модуль числа – это расстояние.

Определение 3

Модуль числа a – это расстояние от точки отсчета (нуля) на числовой прямой до точки, которая соответствует числу $a$.

Пример 2

Например , модуль числа $12$ равен $12$, т.к. расстояние от точки отсчета до точки с координатой $12$ равно двенадцати:

Точка с координатой $−8,46$ расположена от начала отсчета на расстоянии $8,46$, поэтому $|-8,46|=8,46$.

Модуль числа как арифметический квадратный корень

Определение 4

Модуль числа a является арифметическим квадратным корнем из $a^2$:

$|a|=\sqrt{a^2}$.

Пример 3

Вычислить модуль числа $–14$ с помощью определения модуля числа через квадратный корень.

Решение .

$|-14|=\sqrt{((-14)^2}=\sqrt{(-14) \cdot (-14)}=\sqrt{14 \cdot 14}=\sqrt{(14)^2}=14$.

Ответ : $|-14|=14$.

Сравнение отрицательных чисел

Сравнение отрицательных чисел основывается на сравнении модулей этих чисел.

Замечание 1

Правило сравнения отрицательных чисел:

• Если модуль одного из отрицательных чисел больше, то такое число является меньшим;
• если модуль одного из отрицательных чисел меньше, то такое число является большим;
• если модули чисел равны, то отрицательные числа равны.

Замечание 2

На числовой прямой меньшее отрицательное число располагается левее большего отрицательного числа.

Пример 4

Сравнить отрицательные числа $−27$ и $−4$.

Решение .

Согласно правилу сравнения отрицательных чисел найдем сначала модули чисел $–27$ и $–4$, а затем сравним полученные положительные числа.

Таким образом, получаем, что $–27 |-4|$.

Ответ : $–27

При сравнении отрицательных рациональных чисел необходимо преобразовать оба числа к виду обыкновенных дробей или десятичных дробей.

Тема

Тип урока

• изучение и первичное усвоение нового материала

Цели урока

План урока

1. Введение.
2. Теоретическая часть
3. Практическая часть.
4. Домашнее задание.
5. Вопросы

Введение

Давайте посмотрим видео , как упорядочить отрицательные числа

А теперь упорядочите отрицательные числа и расшифруйте тему урока:

Ответ: слово “сравнение”.

Теоретическая часть

Сравнение чисел. Правила

При сравнении двух чисел, первое, на что надо обратить внимание, это знаки сравниваемых чисел. Число с минусом (отрицательное) всегда меньше положительного.

Если оба сравниваемых числа со знаками минус (отрицательные), то мы должны сравнить их модули, то есть, сравнить их не учитывая знаки минус. То число, модуль которого окажется больше, на самом деле меньше.

Например -3 и -5. Сравниваемые числа - отрицательные. Значит, сравним их модули 3 и 5. 5 больше чем 3, значит -5 меньше чем -3.

Если одно из сравниваемых чисел нуль, то отрицательное число будет меньше нуля. (-3 < 0) А положительное - больше. (3 > 0)

Сравнить числа можно и с помощью горизонтальной координатной прямой. Число расположенное левее, меньше числа расположенного правее. Также действует обратное правило. Точка с большей координатой, на координатной прямой, находится правее, чем точка с меньшей координатой.

Например, на рисунке Точка E правее точки A и ее координата больше. (5 > 1)

Сравнение целых чисел

Сравнение абсолютных величин (модулей) чисел

Неравенства с модулем

Практическая часть

Сравнение чисел на числовом луче

Задания

1. Объясните почему:
-5 меньше -1,
-2 больше -16,
-25 меньше 3,
0 больше – 9.

2. Сравните:
на координатной прямой изображены числа: 0; а; в; с. Сравните:

1) а > 0; 2) в < 0; 3) 0 > с.
на координатной прямой изображены числа: 0; а; в; с. Сравните их:

1) а > в; 2) с < а; 3) в < с.

3. Какое из неравенств верно?
Числа а и в – отрицательные; | а | > | в |.
а) а > в; б) а < в.

4. Сравните модуль чисел а и в.
Числа а и в – отрицательные; а < в.

5. Какое из неравенств верно?
а – положительное число,
в – отрицательное число.
а) а > в; б) а < в?

6. Сравните:

Домашнее задание

1. Сравните числа

2. Вычислите

3. Расположите числа в порядке возрастания

Вопросы

Что показывает координата точки на прямой?
Что такое модуль числа с геометрической точки зрения?
Чему равен модуль положительного числа?
Чему равен модуль отрицательного числа?
Чему равен модуль нуля?
Может ли модуль какого-нибудь числа быть отрицательным числом?
Назовите число, противоположное числу 5?
Какое число противоположно самому себе?

Вывод

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.

Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа.

На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Список использованных источников

1. Математическая энциклопедия (в 5 томах). - М.: Советская Энциклопедия, 2002. - Т. 1.
2. «Новейший справочник школьника» «ДОМ XXI век» 2008 г.
3. Конспект урока на тему "Сравнение чисел" Автор: Петрова В. П., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
4. Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы

Над уроком работали
Паутинка А.В.
Петрова В.П.

Скомпоновано и отредактировано Паутинкой А.В.

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав

Сравнение чисел - одна из самых легких и приятных тем из курса математики. Впрочем, нужно сказать, что она не так уж и проста. Например, мало кто испытывает трудности со сравнением однозначных или двузначных положительных чисел.

Но числа с большим количеством знаков уже вызывают проблемы, часто люди теряются при сравнении отрицательных чисел и не помнят, как сравнить два числа с разными знаками. На все эти вопросы мы и постараемся ответить.

Правила относительно сравнения положительных чисел

Начнем с самого простого - с чисел, перед которыми не стоит никакого знака, то есть с положительных.

• Прежде всего, стоит запомнить, что все положительные числа по определению больше нуля, даже если речь идет о дробном числе без целого. Например, десятичная дробь 0,2 будет больше, чем нуль, поскольку на координатной прямой соответствующая ей точка все-таки отстоит от нуля на два небольших деления.
• Если речь идет о сравнении двух положительных чисел с большим количеством знаков, то нужно сравнивать каждый из разрядов. Например - 32 и 33. Разряд десятков у этих чисел одинаков, но число 33 больше, поскольку в разряде единиц «3» больше, чем «2».
• Как сравнить между собой две десятичные дроби? Здесь нужно смотреть прежде всего на целую часть - например, дробь 3,5 будет меньше, чем 4,6. А если целая часть одинакова, но различаются знаки после запятой? В этом случае действует правило для целых чисел - нужно сравнивать знаки по разрядам до тех пор, пока не обнаружатся большие и меньшие десятые, сотые, тысячные доли. Например - 4,86 больше 4,75, поскольку восемь десятых больше, чем семь.

Сравнение отрицательных чисел

Если у нас в задаче есть некие числа –а и –с, и нам нужно определить, какое из них больше, то применяется универсальное правило. Сначала выписываются модули этих чисел - |a| и |с| - и сравниваются между собой. То число, модуль которого больше, окажется меньшим в сравнении отрицательных чисел, и наоборот - большим числом будет то, модуль которого меньше.

Что делать, если сравнить нужно отрицательное и положительное число?

Здесь работает всего одно правило, и оно элементарно. Положительные числа всегда больше чисел со знаком «минус» - какими бы они ни были. Например, число «1» всегда будет больше числа «-1458» просто потому, что единица стоит справа от нуля на координатной прямой.

Также нужно помнить, что любое отрицательное число всегда меньше нуля.

Существуют определённые правила сравнения чисел. Рассмотрим следующий пример.

Вчера термометр показывал 15˚ C, а сегодня показывает 20˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Число 15 меньше числа 20, можем записать так: 15 < 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.

А сейчас рассмотрим отрицательные температуры. Вчера на улице было -12˚ C, а сегодня -8˚ C. Сегодня теплее, чем вчера. Поэтому считают, что число -12 меньше числа -8. На горизонтальной координатной прямой точка со значением -12 расположена левее точки со значением -8. Можем записать так: -12 < -8.

Итак, если сравнивать числа с помощью горизонтальной координатной прямой, из двух чисел меньшим считается то, изображение которого на координатной прямой расположено левее, а большим то, изображение которого расположено правее. Например, у нас на рисунке А > B и C, но B > C.

На координатной прямой положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные – слева от нуля, всякое положительное число больше нуля, а всякое отрицательное меньше нуля, и поэтому всякое отрицательное число меньше всякого положительного числа.

Значит, первое на что необходимо обратить внимание при сравнении чисел, – это знаки сравниваемых чисел. Число с минусом (отрицательное) всегда меньше положительного.

Если же мы сравниваем два отрицательных числа, то нужно сравнить их модули: большим будет то число, модуль которого меньше, а меньшим то число, модуль которого меньше. Например, -7 и -5. Сравниваемые числа – отрицательные. Сравниваем их модули 5 и 7. 7 больше чем 5, значит -7 меньше чем -5. Если отметить на координатной прямой два отрицательных числа, то левее окажется меньшее число, а большее будет расположено правее. -7 расположено левее -5, значит -7 < -5.

Сравнение обыкновенных дробей

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель, и больше та, у которой больше числитель.

Можно сравнивать дроби только с одинаковыми знаменателями.

Алгоритм сравнения обыкновенных дробей

1) Если у дроби есть целая часть, сравнение начинаем именно с неё. Большей будет та дробь, у которой целая часть больше. Если целой части у дробей нет или они равны, переходим к следующему пункту.

2) Если дроби с разными знаменателями необходимо привести их к общему знаменателю.

3) Сравниваем числители дробей. Большей будет та дробь, у которой числитель больше.

Обратите внимание, дробь с целой частью всегда будет больше дроби без целой части.

Сравнение десятичных дробей

Десятичные дроби можно сравнивать только с одинаковым количеством цифр (знаков) справа от запятой.

Алгоритм сравнения десятичных дробей

1) Обращаем внимание на количество знаков справа от запятой. Если количество цифр одинаковое, можем приступать к сравнению. Если – нет, дописываем нужное количество нулей в одной из десятичных дробей.

2) Сравниваем десятичные дроби слева направо: целые с целыми, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.

3) Большей будет та дробь, в которой одна из частей окажется больше, чем в другой дроби (сравнение начинаем с целых чисел: если целая часть одной дроби больше, значит, и вся дробь больше).

Например, сравним десятичные дроби:

1) Допишем в первой дроби необходимое количество нулей, чтобы уравнять количество знаков после запятой

57,300 и 57,321

2) Сравнивать начинаем слева направо:

целые с целыми: 57 = 57;

десятые с десятыми: 3 = 3;

сотые с сотыми: 0 < 2.

Так как сотые первой десятичной дроби оказались меньше, вся дробь и будет меньше:

57,300 < 57,321

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.